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7.3波動(dòng)方程的能量估計(jì)

7.3.1振動(dòng)的動(dòng)能和位能

7.3.2初邊值問題解的唯一性與穩(wěn)定性

習(xí)題7.3

附錄A傅里葉變換函數(shù)表

附錄B拉普拉斯函數(shù)表

附錄C高斯函數(shù)和誤差函數(shù)

附錄DΓ函數(shù)

部分習(xí)題答案及提示

參考文獻(xiàn)

偏微分方程在物理學(xué)、工程技術(shù)和其他科學(xué)的許多領(lǐng)域都有著十分廣泛的應(yīng)用。在上述研究領(lǐng)域中經(jīng)常出現(xiàn)很多描述某些物理規(guī)律的方程，統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)物理方程。通過對這些方程的求解，一方面可以得到極有實(shí)用價(jià)值的結(jié)論，另一方面又可以促進(jìn)這些領(lǐng)域的發(fā)展。因此，數(shù)學(xué)物理方程這個(gè)學(xué)科應(yīng)運(yùn)而生。數(shù)學(xué)物理方程既可以作為一門純數(shù)學(xué)學(xué)科來研究，也可以作為一門應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科來研究。對廣大科技工作者及理科學(xué)生來說，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)物理方程的目的在于應(yīng)用。因此，本書為了適應(yīng)這些讀者的需要，從選材上就有側(cè)重，主要涉及的不是一般數(shù)學(xué)理論，而是盡量為讀者提供與數(shù)學(xué)物理方程有關(guān)的基本概念、基本原理和解題的各種方法及技巧。

2004年以來，本課程組一直為本校通信工程和功能材料等工科專業(yè)及數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)本科生講授“數(shù)學(xué)物理方程”課程，深深感到編寫一本既符合專業(yè)需要，又具有較廣泛適應(yīng)性的書是多么迫切。基于這種共同的認(rèn)識，本書根據(jù)實(shí)踐教學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，結(jié)合國內(nèi)外經(jīng)典教材的優(yōu)秀特點(diǎn)，經(jīng)過修改補(bǔ)充后編寫而成。盡管數(shù)學(xué)物理方程是一門數(shù)學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課，本書并不一味追求教學(xué)理論上的嚴(yán)密和完備，而把重點(diǎn)放在問題的物理含義和基本解題方法上。有些數(shù)學(xué)原理（定理）只作些說明就可使用，省略的證明部分在參考書籍中可查到。適當(dāng)增加應(yīng)用舉例部分，綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)物理方法去解決實(shí)際問題，使學(xué)生開闊眼界，進(jìn)一步提高處理實(shí)際問題的能力。另外，計(jì)算機(jī)模擬已經(jīng)成了現(xiàn)代科學(xué)研究中的重要的手段，本書在適當(dāng)部分加入了可視化模擬，如： 波的傳播、電場分布、熱運(yùn)動(dòng)的變化趨勢等。可視化模擬更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的創(chuàng)造力，發(fā)揮學(xué)生的想象力，幫助學(xué)生更好地完成學(xué)習(xí)任務(wù)。

數(shù)學(xué)物理方程這門課程用到的基礎(chǔ)知識較為廣泛，如果將它們統(tǒng)統(tǒng)集中安排在前面敘述，這樣學(xué)起來感到枯燥無味，因此本書將所涉及的基礎(chǔ)知識分別插入到相應(yīng)的解法中去敘述。本書中主要用到數(shù)學(xué)分析、線性代數(shù)和常微分方程的知識，有些段落也用到復(fù)變函數(shù)的知識，在第7章還用到一些泛函分析的知識。因此，本課程安排在數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)第三學(xué)年為宜。本書內(nèi)容包括數(shù)學(xué)物理定解問題的常用解法： 分離變量法、行波法、積分變換法、格林函數(shù)法、特殊函數(shù)（著重是貝塞爾函數(shù)和勒讓德函數(shù)）、極值原理及應(yīng)用。作為教材使用時(shí)可根據(jù)具體情況加以取舍。對于工科相關(guān)專業(yè)學(xué)生建議重點(diǎn)學(xué)習(xí)第1~6章，而數(shù)學(xué)相關(guān)專業(yè)的學(xué)生學(xué)習(xí)第1~5，7章。

作為東北大學(xué)秦皇島分校校級立項(xiàng)教材，本書得到東北大學(xué)秦皇島分校給予的經(jīng)費(fèi)資助，同時(shí)在清華大學(xué)出版社及本書編輯陳明、趙從棉的支持推動(dòng)下，本書得以順利出版，作者對他們的支持和幫助表示衷心感謝。